Les équivalents usuels sont l’outil le plus direct pour lever une indétermination en calcul de limite. Quand on tombe sur une forme 0/0 ou une expression composite en 0, remplacer une fonction par son équivalent réduit le calcul à quelques lignes. Encore faut-il savoir quelles formules retenir, et surtout quand les appliquer sans risquer une erreur de copie.
Tableau des équivalents usuels à connaître en voisinage de 0
Toutes ces formules s’appliquent au voisinage de 0. Pour chacune, la signification concrète est que le rapport de la fonction à son équivalent tend vers 1.
A découvrir également : Pourquoi la table de 8 bloque votre enfant et comment l'aider ?
| Fonction | Équivalent en 0 |
|---|---|
| sin x | x |
| tan x | x |
| arcsin x | x |
| arctan x | x |
| sh x | x |
| th x | x |
| argsh x | x |
| argth x | x |
| e^x – 1 | x |
| ln(1 + x) | x |
| 1 – cos x | x²/2 |
| ch x – 1 | x²/2 |
| (1 + x)^α – 1 | αx (α réel non nul) |
| √(1 + x) – 1 | x/2 |
Un point que les fiches répètent rarement : un équivalent est le premier terme non nul du développement limité. C’est pour cela que 1 – cos x admet x²/2 comme équivalent et non x : le terme d’ordre 1 est nul dans son DL, et le premier terme non nul est celui d’ordre 2.
Règles de calcul avec les équivalents
Connaître les formules ne suffit pas. Les règles d’emploi conditionnent la validité du calcul.
A lire en complément : Quelle est la fonction juridique ?
On peut multiplier et diviser des équivalents : si f ~ g et u ~ v, alors fu ~ gv. On peut aussi élever à une puissance réelle (pour des fonctions positives) : si f ~ g avec f, g > 0, alors f^α ~ g^α. Ces deux opérations sont sans danger.
La composition par l’exponentielle exige une précaution supplémentaire. De u ~ v, on ne peut pas conclure que e^u ~ e^v. Pour que cette étape soit valide, il faut que u – v tende vers 0, ce qui n’est pas garanti par la seule équivalence.
Addition et soustraction d’équivalents sont les deux opérations interdites dans le cas général. Si f ~ g et u ~ v, on ne peut pas écrire f + u ~ g + v sans vérification préalable.
Sommes avec compensation : jusqu’à quel ordre développer ?
C’est le piège le plus courant en concours. On cherche la limite de sin x – x quand x tend vers 0, on pose sin x ~ x et on conclut sin x – x ~ 0, ce qui est faux : 0 n’est pas un équivalent, c’est une limite nulle qui masque le vrai comportement.
La règle de terrain est simple : quand deux termes équivalents se compensent, il faut développer un ordre plus loin, jusqu’à faire apparaître le premier terme non nul de la différence. Pour sin x – x, le DL à l’ordre 3 donne -x³/6, qui est bien le premier terme non nul. L’équivalent de sin x – x en 0 est donc -x³/6.
Même logique pour ln(1 + x) – x : le DL à l’ordre 2 donne -x²/2, qui est l’équivalent de la différence. On ne le voit pas avec l’équivalent à l’ordre 1.
Pour les suites, le raisonnement est identique. Si u_n ~ v_n et w_n ~ z_n, la somme u_n + w_n ~ v_n + z_n est valide uniquement si les termes dominants ne se compensent pas. La positivité des équivalents est un critère pratique : si v_n et z_n sont positifs, leur somme ne peut pas s’annuler, et l’équivalence de la somme tient.
Cas concrets : équivalents pour les limites usuelles
Quelques applications directes pour fixer la méthode.
- Limite de (1 – cos x) / x² en 0 : on remplace 1 – cos x par x²/2. Le rapport devient (x²/2) / x² = 1/2. La limite est 1/2.
- Limite de sin(x) / (e^x – 1) en 0 : sin x ~ x et e^x – 1 ~ x, donc le rapport est équivalent à x/x = 1. La limite est 1.
- Limite de ln(1 + x) / tan x en 0 : ln(1 + x) ~ x et tan x ~ x, le rapport tend vers 1.
- Limite de n sin(1/n) quand n tend vers +∞ : on pose u = 1/n → 0. sin(1/n) ~ 1/n, donc n sin(1/n) ~ n × (1/n) = 1. La limite est 1.
Dans chacun de ces cas, la substitution directe par l’équivalent fonctionne parce qu’il n’y a pas de compensation. Les termes dominants sont les mêmes au numérateur et au dénominateur, ou dans le produit.
Quand l’équivalent ne suffit pas
Considérons la limite de (sin x – tan x) / x³ en 0. Si on tente sin x ~ x et tan x ~ x, on obtient (x – x) / x³ = 0/x³, ce qui ne donne aucune information. Il faut développer les deux fonctions à l’ordre 3 : sin x = x – x³/6 + o(x³) et tan x = x + x³/3 + o(x³). La différence vaut -x³/2 + o(x³), donc le rapport tend vers -1/2.
La règle à retenir : dès qu’on soustrait deux expressions de même équivalent, on passe obligatoirement au DL, en allant à l’ordre suffisant pour que le premier terme non nul de la différence apparaisse.
Équivalents et convergence de séries
Un usage moins visible dans les fiches de révision : les équivalents servent aussi à étudier la nature d’une série. Si le terme général u_n est équivalent à v_n, et que la série de terme général v_n est une série de référence dont on connaît la nature, alors les deux séries sont de même nature (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes).
Ce résultat s’applique directement quand les termes sont positifs à partir d’un certain rang. C’est un outil courant dans les exercices de prépa où on compare u_n à 1/n^α ou à une exponentielle.
La prudence s’impose si les termes changent de signe : dans ce cas, l’équivalence de terme général ne garantit plus l’équivalence de comportement des sommes partielles, et il faut revenir à des critères adaptés aux séries alternées ou à des majorations directes.
